bonjour à tous
voir là
http://serge.mehl.free.fr/anx/loi_normale.html
Loi binomiale et trompeuse intuition... :
Étudions cet exemple très simple d'utilisation de la loi normale afin d'approcher la loi binomiale :
Si l'on joue n fois (n pair) à pile ou face, par exemple 100 fois,
quelle est la probabilité d'obtenir 50 "pile" ?
La réponse qui vient souvent à l'esprit est "0,5" ou "pas loin de 0,5"... Tout à fait faux : on doit ici appliquer la loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0,5. Si X est le nombre de "pile" obtenus :
Calcul des Cnp par l'ordinateur :
On est à 8 chances sur 100, très loin de 50 sur 100 !!!
En l'absence d'ordinateur, calculer C10050 "à la main" ou 1/2100 n'est pas trivial et une calculatrice peut également ne pas apprécier... : 50 ! (factorielle 50) est de l'ordre de 31064. Mais il est ici légitime d'utiliser une approximation de la loi binomiale par la loi normale ( paragraphe précédent) : on a m = np = 50. L'écart-type est :
et tk = (k - m)/ = 0 puisque k = 50. D'où, par usage de la formule (pk) ci-dessus :
Prob{X = 50} = 0,7978 0,08
Obtenir exactement 50 "pile" est effectivement "très" improbable sur 100 coups... En effet, vous conviendrez de la proximité des nombres mesurant les probabilités de X = 47 à X = 53 : ces valeurs varient symétriquement et sensiblement entre 0,07 et 0,08 (le maximum est obtenu en X = 50) : or 7 x 0,07 = 0,49. Pas loin de 0,5 : on a, grosso modo, 1 chance sur 2 d'obtenir un résultat entre 47 et 53. Plus n est grand, plus petites sont les chances d'obtenir autant de "pile" que de "face" !
Voyons cela en termes élémentaires :
Notons P l'événement "pile est sorti" et F l'événement contraire "face est sorti", on a :
si n = 2 : il nous faut 1 "pile". Il y a 22 = 4 éventualités : PP, PF, FF et FP équiprobables; deux sont favorables : PF ou FP; p = 2/4 = 1/2. On a un demi pile !.. En termes de loi binomiale :
p = C21 x (0,5)1 x (0,5)1 = 2 x 0,25 = 0,50
si n = 4 : il nous faut 2 "pile". Il y a déjà là 24 = 16 éventualités. Procédons par ordre... :
- on peut obtenir 4 "pile" : PPPP, soit 1 cas;
- on peut obtenir 3 "pile" : PPPF, PPFP, PFPP, FPPP, soit 4 cas;
- on peut obtenir 2 "pile" : PPFF, PFPF, PFFP, FFPP, FPFP, FPPF, soit 6 cas;
- on peut obtenir 1 "pile" : cas symétrique de 3 "pile" : FFFP, FFPF, FPFF, PFFF, soit 4 cas
- on peut obtenir 0 "pile" : FFFF, cas symétrique de 1 "pile", soit 1 cas
Sur ces 16 cas, 6 sont favorables : p = 6/16 = 3/8 = 0,375 : la probabilité diminue car le nombre de cas augmente et chacun veut sa part... En termes de loi binomiale : p = C42 x (0,5)2 x (0,5)2 = 6 x 0,625 = 0,375.
si n = 10, il y a 210 = 1024 cas et seulement 252 cas favorables (C105), soit une proba de 1/4 environ.
Combinatoire & calcul des Cnp :
Pour éviter des erreurs ou "oublis", on peut aussi procéder en construisant un arbre des éventualités (à gauche) :
La distribution des "pile" est conforme à la courbe de Gauss. Si X désigne le nombre de faces obtenues, on a par exemple :
Prob (X = 1) = Prob (X = 99), Prob (X = 49) = Prob (X = 51), ...
car "pile" et "face" sont complémentaires et équiprobables (en supposant la pièce de monnaie parfaitement équilibrée...).
il faut absolument garder à l'esprit que quand une monnaie semble "fautée", dans plus de 99 % des cas, il s'agit soit d'une monnaie abimée, soit d'un bidouillage !